CALCUL INTÉGRAL

Niveau: 2ème BAC Sciences Physiques BIOF Mathématiques

CAPACITÉS ATTENDUES
  • Calculer l'intégrale des fonctions à l'aide des techniques usuelles ;
  • Maîtriser le calcul de l'aire d'un domaine plan limité par deux courbes et deux droites parallèles à l'axe des ordonnées ;
  • Calculer le volume d'un solide de révolution engendré par la rotation de la courbe d'une fonction autour de l'axe des abscisses.
PLAN DU COURS
  • II. Techniques de calcul d'intégrales
  • III. Intégration et ordre
  • IV. Applications du calcul intégral


    • ------------------------------------------

    I. Intégrale d'une fonction continue sur un segment

    1. L'intégrale et les primitives

    Définition
    Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et soit $a$ et $b$ deux éléments de $I$.


    Le nombre $F(b)-F(a)$, où $F$ est une primitive de $f$, est appelé l'intégrale de la fonction $f$ de $a$ à $b$,


    et on le note $\int_{a}^{b} f(x)dx$. On écrit alors : $\int_{a}^{b} f(x)dx = \left[F(x)\right]_{a}^{b} = F(b)-F(a)$
    Remarque
    • $\int_{a}^{b} f(x)dx$ se lit « somme de $f(x)dx$ de $a$ à $b$ » ou « intégrale de $f(x)dx$ de $a$ à $b$ »


      Les nombres $a$ et $b$ s'appellent les bornes de cette intégrale.
    • Dans l'écriture $\int_{a}^{b} f(x)dx$, la lettre $x$ peut être remplacée par une autre lettre. Ainsi, on a :
      $$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(t)dt = \int_{a}^{b} f(u)du = \int_{a}^{b} f(\theta)d\theta = \dots$$
    Exemple
    Calculons les intégrales suivantes :
    • $\displaystyle \int_{e}^{e^4} \frac{\ln x}{x} dx$
    • $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \frac{e^t}{e^t+1} dt$
    • $\displaystyle \int_{2}^{6} \sqrt{2+x} dx$

    En utilisant les primitives, on obtient les résultats suivants :
    \begin{align*} \int_{e}^{e^4} \frac{\ln x}{x} dx &= \left[ \frac{1}{2}\ln^2 x \right]_{e}^{e^4} = 6 \\ \int_{0}^{\ln 2} \frac{e^t}{e^t+1} dt &= \left[ \ln(e^t+1) \right]_{0}^{\ln 2} = \ln 3 - \ln 2 \\ \int_{2}^{6} \sqrt{2+x} dx &= \left[ \frac{2}{3}(2+x)^{\frac{3}{2}} \right]_{2}^{6} = \frac{16}{3}(2\sqrt{2}-1) \end{align*}
    Exercice
    1. Déterminer la dérivée de la fonction $F : x \mapsto \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ sur $\mathbb{R}^+$ puis calculer $\displaystyle L = \int_{0}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx$.
    2. Calculer les intégrales suivantes :
      • $\displaystyle \int_{1}^{3} \left(5x^2 - 4x + \frac{2}{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}\right) dx$
      • $\displaystyle J = \int_{e}^{e^3} \frac{\ln^3 x}{x} dx$
      • $\displaystyle K = \int_{0}^{1} x.e^{-x^2} dx$
    Proposition
    Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Alors on a pour tous $a,b$ et $c$ de $I$ :
    • $\int_{a}^{a} f(x)dx = 0$ et $\int_{b}^{a} f(x)dx = -\int_{a}^{b} f(x)dx$
    • $\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx$ (C'est la relation de Chasles pour les intégrales).
    Exercice
    1. Calculer les intégrales suivantes :
      • $\displaystyle \int_{0}^{2} |3x - 4| dx$
      • $\displaystyle \int_{-3}^{2} |x^2 - 3x - 4| dx$
      • $\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{|\ln x|}{x} dx$
      • $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} |\sin 2x| dx$
    2. Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[0;8]$ par :
      $$ \begin{cases} f(x) = \sqrt{3x+1} & \text{si } 0 \le x < 1 \\ f(x) = \frac{x+1}{\sqrt[3]{x}} & \text{si } 1 \le x \le 8 \end{cases} $$

      Vérifier que la fonction $f$ est continue sur $[0;8]$ puis calculer l'intégrale : $I = \int_{0}^{8} f(x) dx$
    Proposition
    Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$.

    Pour tout $(a;b) \in I^2$ et pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ :
    \begin{align*} \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) dx &= \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx \\ \int_{a}^{b} \lambda f(x) dx &= \lambda \int_{a}^{b} f(x) dx \end{align*}
    Remarque
    On peut regrouper les deux formules de la propriété 2 dans la formule suivante : « dite de linéarité »
    $$ (\forall (\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2) \int_{a}^{b} (\lambda f(x) + \mu g(x)) dx = \lambda \int_{a}^{b} f(x) dx + \mu \int_{a}^{b} g(x) dx $$
    Exercice
    1. Calculer l'intégrale $\int_{2}^{4} (5f(x)-3g(x)) dx$ sachant que :
      \begin{align*} \int_{2}^{4} (f(x)+g(x)) dx &= 7 \\ \int_{2}^{4} (f(x)-g(x)) dx &= 1 \end{align*}
    2. Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_{1}^{e} \ln x dx + \int_{1}^{e} \left( \frac{2\ln x}{x} + \ln \frac{1}{x} \right) dx$
    3. On pose : $\displaystyle K = \int_{0}^{\ln 2} \frac{e^t - 1}{e^t + 1} dt$ et \ $\displaystyle L = \int_{0}^{\ln 2} \frac{1}{e^t + 1} dt$.

      Calculer $K + L$ et $K + 2L$ puis en déduire les valeurs de $K$ et $L$.
      1. Déterminer les réels $a, b$ et $c$ tels que pour tout $x \in \left]-\infty ; \frac{1}{2}\right[ : \frac{x^2 - 1}{2x - 1} = ax + b + \frac{c}{2x - 1}$.
      2. Montrer que : $\int_{-1}^{0} \frac{x^2 - 1}{2x - 1} dx = \frac{3}{8} \ln 3$.
    5. Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (x+1)e^{2x}$.

      Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R} : f(x) = \frac{1}{2}f'(x) - \frac{1}{2}e^{2x}$ et en déduire le calcul de $\displaystyle \int_{0}^{1} (x+1)e^{2x} dx$.

    2. Expression d'une primitive à l'aide d'une intégrale

    Proposition
    Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ un élément de $I$.

    La fonction $\varphi$ définie sur $I$ par : $\varphi(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt$ est la primitive de $f$ sur $I$ s'annulant en $a$.
    Remarque
    • La fonction $\varphi$ citée dans la proposition 1 est dérivable sur $I$ et de plus : $(\forall x \in I) \ \varphi'(x) = f(x)$.

      D'où, pour tout $x_0 \in I : \lim_{x \to x_0} \frac{1}{x - x_0} \int_{x_0}^{x} f(t)dt = \lim_{x \to x_0} \frac{\varphi(x) - \varphi(x_0)}{x - x_0} = \varphi'(x_0) = f(x_0)$
    • Puisque $\ln$ est la primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}_+^*$ qui s'annule en $1$, alors :
      $$ (\forall x \in \mathbb{R}_+^*) \ln x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt $$

    3. Interprétation géométrique d'une intégrale

    On suppose que le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O;\vec{i};\vec{j})$.


    On appelle unité d'aire (notée $u.a$) l'aire du rectangle $OICJ$ où $I$, $J$

    et $C$ sont les points définis par : $\overrightarrow{OI} = \vec{i}$, $\overrightarrow{OJ} = \vec{j}$ et $\overrightarrow{OC} = \vec{i} + \vec{j}$


    L'unité d'aire est : $u.a = \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\|$.
    Math Diagram
    Proposition
    Soit $f$ une fonction continue et positive sur un segment

    $[a;b]$ ($a < b$) et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un

    repère orthogonal.

    L'aire du domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, l'axe des

    abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$ est :

    $$ \mathscr{A} = \int_{a}^{b} f(x) dx $$
    (exprimée en unité d'aire)
    Math Diagram


    Exemple
    On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = -\frac{1}{2}x^2 - x$


    Dans la figure ci-contre, $\mathscr{C}_g$ est la courbe représentative

    de $g$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ avec : $\|\vec{i}\| = 1,5 cm$.

    Puisque $g$ est positive sur le segment $[-2;0]$, alors l'aire du

    domaine coloré $\Delta$ est donnée par :


    $\mathscr{A}(\Delta) = \int_{-2}^{0} \left(-\frac{1}{2}x^2 - x\right) dx$ \ en unités d'aire (ici $2,25 cm^2$)


    Or : $\int_{-2}^{0} \left(-\frac{1}{2}x^2 - x\right) dx = \left[-\frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{2}x^2\right]_{-2}^{0} = \frac{2}{3}$


    Il s'ensuit donc que : $\mathscr{A}(\Delta) = \frac{2}{3} \times 2,25 cm^2 = 1,5 cm^2$.
    Math Diagram
    Application
    1. Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 6 + 5e^x - e^{2x}$


      et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ avec : $\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 2cm$.


      Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f(x) \ge 0$ puis déterminer l'aire du domaine délimité par $\mathscr{C}_f$, les axes


      du repère et la droite d'équation $x = \ln\left(\frac{5}{2}\right)$.
    2. Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = \cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$


      et $\mathscr{C}_g$ son graphe dans un repère orthogonal $(O;\vec{i};\vec{j})$ avec : $\|\vec{i}\| = 2cm$ et $\|\vec{j}\| = 3cm$. Déterminer l'aire


      du domaine délimité par $\mathscr{C}_g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations : $x = -\frac{\pi}{12}$ et $x = \frac{\pi}{6}$.

    II. Techniques de calcul d'intégrales

    1. Utilisation des primitives

    Méthode
    Pour calculer une intégrale, on envisage en premier temps d'utiliser le tableau des primitives des fonctions usuelles et leurs propriétés. Ainsi, et avant d'entamer le calcul d'une intégrale d'une fonction $f$, on doit vérifier la continuité de $f$ sur l'intervalle d'intégration puis voir si $f$ s'écrit sous la forme $u'.(v' \circ u)$.

    (car une primitive de $f$ serait donc $v \circ u$) ou bien voir si le problème demande de transformer l'expression de la fonction $f$ en une somme des fonctions faciles à intégrer.

    Maintenant que le lien entre la recherche de primitives et le calcul d'intégrales a été rappelé, nous allons donner une autre méthode permettant de simplifier le calcul d'intégrales et donc la recherche des primitives, à savoir : Intégration par parties.

    2. Intégration par parties

    Proposition 3
    Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ telles que leurs dérivées $u'$ et $v'$ soient continues sur $I$. Alors pour tout $(a;b) \in I^2$ on a :
    $$ \int_{a}^{b} u(t)v'(t) dt = \left[u(t)v(t)\right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(t)v(t) dt $$
    Exemple
    1. Calculons l'intégrale $\displaystyle I = \int_{\ln 2}^{\ln 3} x e^{-x} dx$ par intégration par parties :

      Posons : $u = x \rightarrow u' = 1 \text{et} v' = e^{-x} \rightarrow v = -e^{-x}$

      Il s'ensuit donc : $\displaystyle I = \left[-xe^{-x}\right]_{\ln 2}^{\ln 3} - \int_{\ln 2}^{\ln 3} -e^{-x} dx = -\frac{\ln 3}{e^{\ln 3}} + \frac{\ln 2}{e^{\ln 2}} - \left[e^{-x}\right]_{\ln 2}^{\ln 3}$

      Par conséquent : $\displaystyle I = -\frac{\ln 3}{3} + \frac{\ln 2}{2} - \left(\frac{1}{e^{\ln 3}} - \frac{1}{e^{\ln 2}}\right) = -\frac{\ln 3}{3} + \frac{\ln 2}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3\ln 2 - 2\ln 3 + 1}{6}$
    2. Calculons l'intégrale $\displaystyle J = \int_{1}^{2} (2x+3)\ln x dx$ par intégration par parties :

      Posons : $u = \ln x \rightarrow u' = \frac{1}{x} \text{et} v' = 2x+3 \rightarrow v = x^2 + 3x$

      Il s'ensuit donc : $\displaystyle J = \left[(x^2+3x)\ln x\right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^2+3x}{x} dx = 10\ln 2 - \int_{1}^{2} (x+3) dx \dots$
    Application
    1. En appliquant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :
      $$ I_1 = \int_{1}^{\ln 2} xe^x dx ; I_2 = \int_{-2}^{1} x\sqrt{2-x} dx ; I_3 = \int_{1}^{4} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx ; I_4 = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{x}{\cos^2 x} dx $$
      $$ I_5 = \int_{0}^{1} (1+e^x)\ln(x+e^x) dx ; I_6 = \int_{1}^{e} \frac{\ln t}{t^2} dt ; I_7 = \int_{0}^{\ln 3} \frac{e^{2x}}{(1+e^x)^2} dx $$
      $$ I_8 = \int_{1}^{\ln 2} (x^2+1)e^{-x} dx ; I_9 = \int_{0}^{\pi} e^{-x}\sin x dx ; I_{10} = \int_{0}^{1} (2x+1).3^x dx $$
    2. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ on pose : $K_n = \int_{0}^{1} t^n e^t dt$.

      En utilisant la formule d'intégration par parties, montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
      $$ K_{n+1} + (n+1)K_n = e $$
    3. a) Vérifier que pour tout $x \in \mathbb{R}^* - \{-1\}$ : $ \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$.

      b) En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : $\displaystyle I = \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{(1+x)^2} dx$.

    III. Intégration et ordre

    1. Positivité et croissance

    Proposition 4
    Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un segment $[a;b]$ ($a < b$).
    • Si $f$ est positive sur $[a;b]$ alors : $\int_{a}^{b} f(x) dx \ge 0$.
    • Si $f(x) \le g(x)$ pour tout $x \in [a;b]$, alors : $\int_{a}^{b} f(x) dx \le \int_{a}^{b} g(x) dx$.
    Preuve
    Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $[a;b]$. Donc : $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$. Puisque $f$ est positive sur $[a;b]$, alors la fonction $F$ est croissante sur $[a;b]$. Donc $F(b) - F(a) \ge 0$, d'où $\int_{a}^{b} f(x) dx \ge 0$.


    Si $f(x) \le g(x)$ pour tout $x \in [a;b]$, alors $\int_{a}^{b} (g(x) - f(x)) dx \ge 0$, et donc $\int_{a}^{b} f(x) dx \le \int_{a}^{b} g(x) dx$.
    Application
    1. Montrer que : $\displaystyle 0 \le \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{\sin t}{t} dt \le \frac{\pi}{2} - 1$ et $\displaystyle \frac{\ln 2}{2} \le \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos x}{x} dx \le \frac{\sqrt{3}}{2} \ln 2$
    2. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $\displaystyle I_n = \int_{0}^{1} \frac{t^n}{1+t} dt$.
      1. Vérifier que pour tout $t \in [0;1]$ : $\displaystyle 0 \le \frac{t^n}{1+t} \le t^n$.
      2. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $\displaystyle 0 \le I_n \le \frac{1}{n+1}$ puis en déduire la limite de la suite $(I_n)$.
    3. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose : $\displaystyle u_n = \int_{1}^{e} (\ln x)^n dx$.
      1. Justifier que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) u_n \ge 0$.
      2. Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est décroissante et en déduire qu'elle est convergente.
      3. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) u_{n+1} = e - (n+1)u_n$.
      4. En déduire de ce qui précède que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \displaystyle 0 \le u_n \le \frac{e}{n+1}$ puis déterminer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$.
    4. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $\displaystyle J_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} x^n \cos(x) dx$.
      1. Montrer que la suite $(J_n)$ est décroissante.
      2. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $\displaystyle 0 \le J_n \le \left(\frac{\pi}{6}\right)^n$.
      3. En déduire $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} J_n$.

    2. Intégrale et valeur absolue

    Proposition 5
    Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et soit $(a;b) \in I^2$ tel que $a \le b$.


    Alors : $\displaystyle \left| \int_{a}^{b} f(x) dx \right| \le \int_{a}^{b} |f(x)| dx$

    3. Valeur moyenne d'une fonction continue sur un segment

    Proposition 6
    Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et soit $(a;b) \in I^2$ tel que $a \le b$.
    • S'il existe deux réels $m$ et $M$ tels que pour tout $x \in [a;b]$, $m \le f(x) \le M$, alors :
      $$ m(b-a) \le \int_{a}^{b} f(x) dx \le M(b-a) $$
    • S'il existe un réel $M$ tels que pour tout $x \in [a;b]$, $|f(x)| \le M$, alors : $\displaystyle \left| \int_{a}^{b} f(x) dx \right| \le M(b-a)$
    Définition 2
    Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a;b]$ ($a < b$).


    La valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[a;b]$ est le nombre réel : $\displaystyle \mu = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$.
    Exemple
    La valeur moyenne de la fonction $x \mapsto \ln x$ sur le segment $[1;e]$ est : $\displaystyle \mu = \frac{1}{e-1} \int_{1}^{e} \ln(x) dx$.


    Une intégration par parties appliquée à l'intégrale $\int_{1}^{e} \ln(x) dx$ donne :


    $\displaystyle \int_{1}^{e} \ln(x) dx = \left[x\ln x\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} dx = e - \left[x\right]_{1}^{e} = 1$. Par suite : $\displaystyle \mu = \frac{1}{e-1}$.
    Remarque
    • Souvent en pratique, $m$ et $M$ représentent le minimum et le maximum de la fonction numérique $f$ sur le segment $[a;b]$.
    • Si on a $m \le f \le M$ sur le segment $[a;b]$, alors $m \le \mu \le M$. C'est pourquoi la proposition 6 porte le nom d'\guillemotleft \ inégalité de la moyenne \guillemotright
    • La formule $\displaystyle \mu = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$ est une généralisation de la formule $\displaystyle \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} f(x_i)$ donnant la moyenne arithmétique d'une série statistique.
    Proposition 7
    Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a;b]$ ($a < b$).


    Il existe au moins un réel $c \in [a;b]$ tel que : $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = (b-a)f(c)$.


    Ce résultat porte le nom de \guillemotleft \ Théorème de la moyenne \guillemotright .


    Interprétation graphique


    Graphiquement, une interprétation du théorème de la moyenne est que l'aire algébrique sous la courbe $\mathscr{C}_f$ est égale à celle d'un rectangle de base $[a;b]$ et de hauteur l'ordonnée d'un point de la courbe.
    Math Diagram


    Application
    1. Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$ dans chacun des cas suivants :
      1. $\displaystyle f(x) = \frac{\ln^2 x + x}{x}$ et $I = [1;e]$ ; b) $\displaystyle f(x) = xe^{-x}$ et $I = [0;1]$
      2. [c)] $\displaystyle f(x) = 10\cos\left(2t + \frac{\pi}{3}\right)$ et $I = [0;\pi]$ ; d) $\displaystyle f(x) = \cos^2 x + \sin x$ et $I = \left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}\right]$
    2. Dans une ville, une étude statistique a permis d'établir qu'entre le 1er janvier 2010 et le 1er janvier 2016, le taux de ménages ayant un ordinateur portable est modélisé par la fonction $f$ définie par :
      $$ f(t) = \frac{e^{0,2t}}{4 + e^{0,2t}} $$
      où $t$ désigne la durée écoulée en années depuis le 1er janvier 2010.

      Calculer le taux moyen de ménages ayant un ordinateur portable sur la période du 1er janvier 2010 au 1er janvier 2016 en pourcentages.

    IV. Applications du calcul intégral

    1. Calcul des aires

    Proposition 8
    Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a;b]$ ($a < b$), et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.


    L'aire du domaine $\Delta_f$ délimité par $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$ est égale à : $\displaystyle \mathscr{A} = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$ \ (en unité d'aire $u.a$).


    Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O;\vec{i};\vec{j})$.


    Soit $f$ une fonction continue sur le segment $[a;b]$ ($a < b$). On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans le repère $(O;\vec{i};\vec{j})$. On rappelle que l'unité de mesure d'aire est l'aire du rectangle de dimensions $\|\vec{i}\|$ et $\|\vec{j}\|$.


    Soit $\Delta_f$ le domaine délimité par $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$.



    • Dans le cas où la fonction $f$ est positive sur $[a;b]$,


      alors : $\displaystyle \mathscr{A} = \int_{a}^{b} f(x) dx$ (en unité d'aire $u.a$).

    Math Diagram

    • Dans le cas où la fonction $f$ est négative sur $[a;b]$,


      alors : $\displaystyle \mathscr{A} = -\int_{a}^{b} f(x) dx$ (en unité d'aire $u.a$).

    Math Diagram
    Remarque
    • Le nombre positif $\displaystyle \int_{a}^{b} |f(x)| dx$ est appelé l'aire géométrique du domaine $(\Delta)$.
    • Le nombre $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx$ est appelé l'aire algébrique du domaine $(\Delta)$.

    Application
    Soit $g$ la fonction numérique définie sur $[0;+\infty[$ par : $g(x) = x - 2\sqrt{x}$


    Étudier le signe de $g(x)$ sur $[0;+\infty[$ puis calculer l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}_g$ de la fonction $g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations cartésiennes : $x = 0$ et $x = 5$.
    Proposition 9
    Le plan est rapporté à un repère orthogonal.

    Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un segment $[a;b]$.

    Soit $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ les courbes représentatives de $f$ et $g$.

    Soit $(\Delta)$ le domaine délimité par les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$. Alors :


    L'aire $\mathscr{A}$ du domaine $(\Delta)$ en unités d'aire est donnée par :
    $$ \mathscr{A} = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx \text{(en unité d'aire } u.a \text{)} $$
    Math Diagram
    Application
    1. Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par : $f(x) = x - (\ln x)^2$.

      On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ avec : $\|\vec{i}\| = 2cm$.
      1. Montrer que $H : x \mapsto x\ln(x) - x$ est une fonction primitive de la fonction $\ln$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$ puis montrer que $\int_{1}^{e} \ln(x) dx = 1$.
      2. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $\int_{1}^{e} (\ln x)^2 dx = e - 2$.
      3. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, la droite $(\mathscr{D})$ d'équation $y = x$ et les droites d'équations cartésiennes : $x = 1$ et $x = e$.

    2. Soit $g$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $\mathbb{R}$ par : $\displaystyle g(x) = x + \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$.

      On note $\mathscr{C}_g$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ (unité : $1cm$).
      1. Montrer que $\displaystyle H : x \mapsto x - \ln(e^x + 1)$ est une fonction primitive de la fonction $\displaystyle x \mapsto \frac{1}{e^x+1}$ sur $\mathbb{R}$.
      2. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}_g$, la droite $(\mathscr{D})$ d'équation $y = x + 1$ et les droites d'équations cartésiennes : $x = 0$ et $x = \ln 2$.

    2. Calcul des volumes

    Proposition 10
    L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$. Soit $(a;b) \in \mathbb{R}^2$ tel que $a < b$.

    On considère un solide $(S)$ limité par deux plans parallèles au plan $(O;\vec{i};\vec{j})$ :
    • le plan d'équation $z = a$.
    • le plan d'équation $z = b$.

    Si $S(t)$ est l'aire de l'intersection du solide $(S)$ avec tout plan parallèle à $(O;\vec{i};\vec{j})$ de cote $t$, alors le volume de ce solide est (en unités de volume) :
    $$ v(S) = \int_{a}^{b} S(t) dt $$
    Math Diagram
    Proposition 11
    L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$.

    Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$ ($a < b$), et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans le repère $(O;\vec{i};\vec{j})$.


    Le volume du solide engendré par la rotation de la courbe $\mathscr{C}_f$ autour de l'axe des abscisses un tour complet est donné par la formule :
    $$ V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 dx \text{(en unités de volume)} $$
    Math Diagram
    Exemple
    Le volume du solide engendré par la rotation de la courbe de la fonction $f : x \mapsto e^{2x}$ sur $[0;1]$ autour de l'axe des abscisses un tour complet est donné par :

    $$ V = \pi \int_{0}^{1} (e^{2x})^2 dx = \pi \int_{0}^{1} e^{4x} dx = \frac{\pi}{4} \left[e^{4x}\right]_{0}^{1} = \textcolor{red}{\frac{\pi(e^4 - 1)}{4}} \text{(en unité de volume)} $$
    Application
    1. Soit $g$ la fonction numérique définie sur $[0;\pi]$ par : $g(x) = \sin x$. Calculer le volume du solide engendré par la rotation de la courbe $\mathscr{C}_g$ autour de l'axe des abscisses un tour complet.
    2. Calculer le volume du solide engendré par la rotation de cercle $(\mathscr{C})$ d'équation $x^2 + (y-2)^2 = 1$ autour de l'axe des abscisses.






    A

    TECHNIQUES DE CALCUL DES INTÉGRALES


    Exercice

    1. Calculer les intégrales suivantes en utilisant les primitives :

      \begin{align*} I &= \int_{0}^{2} \left(x^2 - 3x + 5\right) dx & J &= \int_{-1}^{1} \left|x^2 - x\right| dx & K &= \int_{1}^{4} (2x-1)\,e^{x^2-x}\, dx \\[6pt] L &= \int_{0}^{2} \frac{e^x}{e^x+3}\, dx & M &= \int_{1}^{4} \sqrt{x}\,(4-x)\, dx & N &= \int_{-2}^{-1} \frac{1}{x-1}\, dx \\[6pt] O &= \int_{\ln 2}^{\ln 3} e^{2x+1}\, dx & P &= \int_{0}^{1} \!\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{x-2} - \frac{4}{x+2}\right) dx & A &= \int_{e}^{e^2} \frac{dx}{x \ln x} \\[6pt] \end{align*}

      \begin{align*} B &= \int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{1}{x}\left|\ln x\right| dx & C &= \int_{0}^{2\sqrt{2}} \frac{3x}{\sqrt{x^2+1}}\, dx & D &= \int_{1}^{e} \frac{x+1}{x}\left(\ln(x)+x\right)^3 dx \\[6pt] E &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)\,e^{\sin x}\, dx & X &= \int_{0}^{\pi} \sin(x)\cos^4(x)\, dx & Y &= \int_{0}^{1} \frac{dx}{e^x+1} \\[6pt] Z &= \int_{0}^{1} t\sqrt{2+5t^2}\, dt \end{align*}

    2. En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :

      $$ I_1 = \int_{1}^{e} x\ln(x)\, dx \;; I_2 = \int_{1}^{2} \frac{\ln x}{x^3}\, dx \;; I_3 = \int_{-1}^{0} x\,e^x\, dx \\ $$
      $$ I_4 = \int_{0}^{3} x\sqrt{x+1}\, dx \;; I_5 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\sin(2x)\, dx $$






    B

    INTÉGRALES ET SUITES


    Exercice
    On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
    $\displaystyle I_n = \int_{0}^{1} x^n e^{-x}\, dx$
    1. Calculer $I_0$ et $I_1$.
    2. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
      $$ I_{n+1} = (n+1)\,I_n - \frac{1}{e} $$
      1. Vérifier que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $I_n \ge 0$.
      2. Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante puis en déduire qu'elle est convergente.
      1. Justifier que pour tout $x \in [0\,;\,1]$ : $\displaystyle\frac{1}{e} \le e^{-x} \le 1$.
      2. Montrer que pour tout entier $n \in \mathbb{N}$ :
        $$ \frac{1}{e(n+1)} \le I_n \le \frac{1}{n+1} $$
      3. En déduire $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n$.


    La boîte à idées --- Suites définies par une intégrale
    On considère la suite numérique définie sur $\mathbb{N}$ par :
    $\displaystyle I_n = \int_{a}^{b} f_n(x)\,dx$,
    où les fonctions $f_n$ sont des fonctions continues sur le segment $[a\,;\,b]$.


    Plusieurs techniques à savoir pour l'étude de la suite $\left(I_n\right)$ :
    • Pour étudier le signe de $I_n$, on étudie le signe de $f_n$ sur le segment $[a\,;\,b]$.
      • Si pour tout $x \in [a\,;\,b]$, \; $f_n(x) \ge 0$, \; alors $I_n \ge 0$.
      • Si pour tout $x \in [a\,;\,b]$, \; $f_n(x) \le 0$, \; alors $I_n \le 0$.
      Bien sûr, ces conditions sont des conditions suffisantes et non nécessaires.
    • Pour étudier la monotonie de la suite $\left(I_n\right)$, on utilise la linéarité de l'intégrale et on étudie le signe de la différence :
      $$ I_{n+1} - I_n = \int_{a}^{b} \bigl(f_{n+1}(x) - f_n(x)\bigr)\,dx $$
    Exercice
    Calculer les intégrales suivantes :
    \begin{align*} A_1 &= \int_{0}^{1} \left(3x^2 - x + 4\right)dx & A_2 &= \int_{0}^{2} \left(\frac{1}{2}x^3 - 5x\right)dx \\[5pt] A_3 &= \int_{1}^{4} \left(\sqrt{t} - \frac{1}{\sqrt{t}}\right)^{\!2} dt & A_4 &= \int_{1}^{4} (x+1)\sqrt{x}\, dx \\[5pt] A_5 &= \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2x+1}} & A_6 &= \int_{1}^{4} \left(t + \frac{2}{t^2} - \frac{1}{t} + \frac{2}{\sqrt{t}}\right)dt \\[5pt] A_7 &= \int_{3}^{7} \frac{4}{u-2}\, du & A_8 &= \int_{-1}^{4} \pi\, dx \\[5pt] \end{align*}

    \begin{align*} A_9 &= \int_{0}^{1} e^{x^2}\, dx & A_{10} &= \int_{0}^{1} \frac{dx}{(x+3)^2} \\[5pt] A_{11} &= \int_{0}^{7} \frac{du}{\sqrt[3]{1+u}} & A_{12} &= \int_{1}^{2} \frac{d\theta}{\sqrt[4]{\theta}} \\[5pt] A_{13} &= \int_{-2}^{-1} \frac{3-2x}{x^5}\, dx & A_{14} &= \int_{0}^{1} (3x-2)^4\, dx \\[5pt] A_{15} &= \int_{2}^{3} \frac{(x-1)(2x+1)}{x^4}\, dx & A_{16} &= \int_{1}^{4} \frac{(x-2)^3}{\sqrt{x}}\, dx \end{align*}
    Exercice
    Calculer les intégrales suivantes :
    \begin{align*} B_1 &= \int_{-2}^{3} t\,(t^2+2)^7\, dt & B_2 &= \int_{1}^{0} \frac{dx}{(2x+1)^{2020}} \\[5pt] B_3 &= \int_{0}^{1} (2x+1)(x^2+x-4)^3\, dx & B_4 &= \int_{0}^{1} x^{20}\sqrt{x}\, dx \\[5pt] B_5 &= \int_{1}^{6} \sqrt{x+3}\, dx & B_6 &= \int_{0}^{2} (x+2)\sqrt{x^2+4x}\, dx \\[5pt] B_7 &= \int_{1}^{2} \frac{4x}{(2x^2+7)^2}\, dx & B_8 &= \int_{1}^{64} \frac{2x\sqrt{x}-1}{\sqrt[6]{x}}\, dx \\[5pt] \end{align*}

    \begin{align*} B_9 &= \int_{1}^{8} \frac{x+2}{\sqrt[3]{x}}\, dx & B_{10} &= \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\, dx \\[5pt] B_{11} &= \int_{0}^{2} \sqrt[3]{5x-2}\, dx & B_{12} &= \int_{0}^{5} x\,\sqrt[3]{2+x^2}\, dx \end{align*}


    Exercice
    Calculer les intégrales suivantes :
    \begin{align*} C_1 &= \int_{-1}^{0} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-2x}} & C_2 &= \int_{0}^{1} \frac{x^2}{(x^3+2)^2}\, dx \\[5pt] C_3 &= \int_{0}^{1} \frac{x}{(1-x^2)^4}\, dx & C_4 &= \int_{0}^{1} \frac{x-4}{(x^2-4x+5)^3}\, dx \\[5pt] C_5 &= \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+1)^2}\, dx & C_6 &= \int_{0}^{4} \frac{2x-1}{\sqrt[3]{x^2-x+1}}\, dx \\[5pt] C_7 &= \int_{0}^{1} (2x-1)\,(x^2-x+1)^{\frac{2}{3}}\, dx & C_8 &= \int_{1}^{5} \frac{2\, dx}{3x+4} \\[5pt] \end{align*}

    \begin{align*} C_9 &= \int_{1}^{2} (x-3)\,\sqrt[3]{x-1}\, dx & C_{10} &= \int_{0}^{1} \frac{2x+1}{x^2+x+1}\, dx \\[5pt] C_{11} &= \int_{-1}^{1} \frac{x}{x^2-4}\, dx & C_{12} &= \int_{0}^{1} \left(2x - 1 + \frac{3}{x+4}\right)dx \end{align*}



    Exercice
    Calculer les intégrales suivantes :
    \begin{align*} I_1 &= \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x}\, dx & I_2 &= \int_{2}^{e} \frac{dx}{x \ln x} & I_3 &= \int_{1}^{e} \frac{\sqrt{\ln x}}{x}\, dx \\[5pt] I_4 &= \int_{e}^{e^3} \frac{1}{x \ln^2 x}\, dx & I_5 &= \int_{1}^{e} \frac{\sqrt{1+\ln x}}{x}\, dx & I_6 &= \int_{e^2}^{e^3} \frac{1}{x\,\sqrt[3]{\ln x}}\, dx \\[5pt] I_7 &= \int_{\frac{1}{e}}^{e^2} \frac{dx}{x\sqrt{2+\ln x}} & I_8 &= \int_{1}^{e} \frac{1}{x(2+\ln x)}\, dx & I_9 &= \int_{1}^{e} \frac{x^2 + (\ln x)^2}{x}\, dx \\[5pt] \end{align*}

    \begin{align*} I_{10} &= \int_{e}^{e^2} \frac{3\ln^4 x - 2\ln^2 x}{4x \ln x}\, dx & I_{11} &= \int_{e}^{e^2} \frac{\ln x - 1}{x \ln x}\, dx & I_{12} &= \int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{dx}{x(3+2\ln x)^3} \\[5pt] I_{13} &= \int_{1}^{e} \frac{1}{x(2+\ln x)^2}\, dx & I_{14} &= \int_{1}^{e^2} \frac{\sqrt[3]{2+\ln x}}{x}\, dx & I_{15} &= \int_{1}^{e} \frac{x-1}{x(\ln x - x)}\, dx \\[5pt] I_{16} &= \int_{e^3}^{e^4} \frac{\ln\!\left(1+\sqrt{x}\right)}{x+\sqrt{x}}\, dx & I_{17} &= \int_{1}^{e^{-1}} \frac{dx}{(x+1)\ln(x+1)} \end{align*}






    LINÉARITÉ -- RELATION DE CHASLES


    Exercice
    1. Vérifier que pour tout $x \in \left]-1\,;\,1\right[$ :
      $$ \frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} $$
    2. En déduire la valeur de l'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{2}{x^2-1}\, dx$.
    Exercice
    1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que :
      $$ (\forall x \in \left]1\,;\,+\infty\right[) \frac{1}{x(1-x^2)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{1-x} + \frac{c}{1+x} $$
    2. Calculer l'intégrale : $\displaystyle I = \int_{2}^{e} \frac{1}{x(1-x^2)}\, dx$.
    Exercice
    1. Déterminer les réels $a$, $b$, $c$ et $d$ tels que pour tout $x \in \mathbb{R} - \{1\}$ :
      $$ \frac{x^3 - 2x^2 + 2x - 2}{x - 1} = ax^2 + bx + c + \frac{d}{x-1} $$
    2. Calculer l'intégrale : $\displaystyle I = \int_{2}^{e+1} \frac{x^3 - 2x^2 + 2x - 2}{x - 1}\, dx$.
    Exercice
    Calculer l'intégrale suivante :
    $$ I = 2\int_{1}^{2} \ln x\, dx + \int_{1}^{2} \left(\frac{1}{\sqrt{x}} + \ln\!\left(\frac{1}{x^2}\right)\right) dx $$


    Exercice
    On considère les intégrales :

    $\displaystyle I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{2x} \cos^2 x\, dx \text{et} J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{2x} \sin^2 x\, dx$
    1. Calculer $I + J$.
    2. Calculer la dérivée de la fonction :
      $x \mapsto e^{2x}\left(\cos(2x) + \sin(2x)\right)$

      et en déduire la valeur de $I - J$.
    3. Déterminer les valeurs des intégrales $I$ et $J$.
    Exercice
    On considère les deux intégrales :
    $$ I = \int_{-\pi}^{\pi} \cos(2x)\cos(4x)\, dx \text{et} J = \int_{-\pi}^{\pi} \sin(2x)\sin(4x)\, dx $$

    Calculer $I + J$ et $I - J$ puis en déduire $I$ et $J$.
    Exercice
    On considère les intégrales :
    $$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x}\, dx \text{et} J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\cos x + \sin x}\, dx $$

    Calculer $I + J$ et $I - J$ puis en déduire $I$ et $J$.
    Exercice
    On considère les intégrales :

    $\displaystyle I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{2x} \cos^2 x\, dx \text{et} J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{2x} \sin^2 x\, dx$
    1. Calculer $I + J$.
    2. Calculer la dérivée de la fonction :
      $x \mapsto e^{2x}\left(\cos(2x) + \sin(2x)\right)$

      et en déduire la valeur de $I - J$.
    3. Déterminer les valeurs des intégrales $I$ et $J$.
    Exercice
    1. Vérifier que pour tout $x \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{4}\right]$ :
      $$ \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{2}\left(\frac{\cos x}{1 - \sin x} + \frac{\cos x}{1 + \sin x}\right) $$
    2. Calculer l'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos x}\, dx$.
    Exercice
    On considère les intégrales :
    $$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 x\, dx ; J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x\, dx $$
    $$ K = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\sin^2(x)\cos^2(x)\, dx $$
    1. Calculer : $I - J$ et $I + J + K$.
      1. Exprimer $2\sin^2(x)\cos^2(x)$ en fonction de $\sin^2(2x)$ et $\cos(4x)$.
      2. Calculer $K$ puis en déduire les valeurs de $I$ et $J$.
    Exercice
    Soit $f$ la fonction numérique sur $\mathbb{R}^*$ par :
    $$ \begin{cases} f(x) = \sqrt{1-x} & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ f(x) = x - \frac{1}{x} & \text{si } x > 1 \end{cases} $$
    Vérifier que $f$ est continue en $1$ puis calculer $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) dx$.
    Exercice
    En utilisant la relation de Chasles, calculer les intégrales suivantes :
    \begin{align*} I &= \int_{-2}^{0} x|x+1|\, dx & J &= \int_{1}^{3} |x^2-x-2|\, dx \\[5pt] K &= \int_{e^{-1}}^{e} \frac{|\ln x|}{x}\, dx & L &= \int_{-1}^{1} |e^x-1|\, dx \end{align*}
    Exercice
    Calculer les intégrales suivantes :
    \begin{align*} I_1 &= \int_{-1}^{3} |3x^2-6x|\, dx & I_2 &= \int_{0}^{2} \left(1-|x-1|^3\right) dx \\[5pt] I_3 &= \int_{0}^{5} \left(|x-3| + |2x-5|\right) dx & I_4 &= \int_{-2}^{\ln 2} |e^x-2|\, dx \\[5pt] I_5 &= \int_{0}^{\pi} \sin x |\cos x|\, dx & I_6 &= \int_{-1}^{2} \left(|x| + |x^2-1|\right) dx \end{align*}

    INTÉGRATION PAR PARTIES

    Exercice
    En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :
    \begin{align*} I_1 &= \int_{0}^{1} x e^{3x}\, dx & I_2 &= \int_{0}^{\pi} x \sin x\, dx & I_3 &= \int_{1}^{e} \ln x\, dx \\[5pt] I_4 &= \int_{1}^{e} x \ln x\, dx & I_5 &= \int_{0}^{1} x e^{-x}\, dx & I_6 &= \int_{0}^{1} x \cdot 3^x\, dx \\[5pt] I_7 &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos(2x)\, dx & I_8 &= \int_{-1}^{0} (x+1)\ln(x+2)\, dx \end{align*}
    Exercice
    En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :
    \begin{align*} J_1 &= \int_{-1}^{0} (x+3)e^{-4x}\, dx & J_2 &= \int_{0}^{1} (4x-1)e^{3x}\, dx \\[5pt] J_3 &= \int_{1}^{2} (2x+3)\ln x\, dx & J_4 &= \int_{0}^{3} x\sqrt{3-x}\, dx \\[5pt] J_5 &= \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x^2}\, dx & J_6 &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)\ln(1+\cos x)\, dx \\[5pt] J_7 &= \int_{1}^{e} x^3\ln x\, dx & J_8 &= \int_{0}^{\ln 3} e^{-x}\ln(1+e^x)\, dx \\[5pt] J_9 &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x}\, dx & J_{10} &= \int_{0}^{\ln 2} \frac{e^{2x}}{(1+e^x)^2}\, dx \\[5pt] J_{11} &= \int_{0}^{1} x^5 e^{x^3}\, dx & J_{12} &= \int_{0}^{\ln 2} e^x \ln\!\left(e^x + \sqrt{e^{2x}+1}\right) dx \\[5pt] J_{13} &= \int_{0}^{\ln 2} \frac{2t+1}{e^{2t}}\, dt & J_{14} &= \int_{2}^{3} \ln\!\left(\frac{x}{x-1}\right) dx \\[5pt] J_{15} &= \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x+1}}\, dx & J_{16} &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x}\, dx \\[5pt] J_{17} &= \int_{0}^{1} \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}\, dx & J_{18} &= \int_{0}^{\sqrt{3}} x^3\sqrt{x^2+1}\, dx \\[5pt] J_{19} &= \int_{-1}^{4} \frac{x+2}{\sqrt{x+5}}\, dx & J_{20} &= \int_{0}^{1} x^3 e^{x^2+2}\, dx \\[5pt] J_{21} &= \int_{1}^{e} x\sqrt{x} \ln x\, dx & J_{22} &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\sin x \cos x\, dx \\[5pt] J_{23} &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x\frac{\sin x}{\cos^3 x}\, dx & J_{24} &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x\cos^2(2x)\, dx \end{align*}
    Exercice
    En utilisant une double intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :
    \begin{align*} K_1 &= \int_{-1}^{0} x^2 e^{-x}\, dx & K_2 &= \int_{0}^{1} (1+t)^2 e^{-t}\, dt \\[5pt] K_3 &= \int_{1}^{e} (\ln x)^2\, dx & K_4 &= \int_{0}^{\pi} x^2 \sin(3x)\, dx \\[5pt] K_5 &= \int_{0}^{\pi} e^x \cos x\, dx & K_6 &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} \sin x\, dx \\[5pt] K_7 &= \int_{0}^{3} x^2 \sqrt{1+x}\, dx & K_8 &= \int_{1}^{e^\pi} \sin(\ln x)\, dx \end{align*}
    Exercice
    Calculer les intégrales suivantes :
    \begin{align*} J_1 &= \int_0^1 (e^{4x} - 3e^{2x} - 1) dx & J_2 &= \int_0^{\ln 2} \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+5}} dx \\[5pt] J_3 &= \int_0^{\ln 3} e^{-2x} dx & J_4 &= \int_0^{\ln 2} \frac{e^{2x} + e^x + 3}{e^x} dx \\[5pt] J_5 &= \int_4^9 \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx & J_6 &= \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{(e^x + 1)(e^x + 2)}{e^x} dx \\[5pt] J_7 &= \int_1^2 \frac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x}} dx & J_8 &= \int_{-1}^2 (3x^2 - 2x) e^{x^3 - x^2} dx \\[5pt] J_9 &= \int_0^1 \frac{3x^2 - 1}{e^{x^3 - x + 2}} dx & J_{10} &= \int_1^e \left( e^x \ln x + \frac{e^x}{x} \right) dx \\[5pt] J_{11} &= \int_0^{\ln 2} \frac{e^x}{e^x + 3} dx & J_{12} &= \int_0^1 \frac{e^x}{(e^x + 4)^2} dx \\[5pt] J_{13} &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^{\tan x}}{\cos^2 x} dx & J_{14} &= \int_0^1 (e^x + 1)(e^x + x - 1)^4 dx \\[5pt] J_{15} &= \int_2^3 (2 - x) e^{x^2 - 4x} dx & J_{16} &= \int_0^1 e^{-x} (e^{3x} + 1) dx \\[5pt] J_{17} &= \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \sin(2x) e^{\cos^2 x} dx & J_{18} &= \int_0^1 (2^x + 3^x) dx \\[5pt] J_{19} &= \int_{-\ln 2}^{\ln 2} \frac{e^x}{e^x + 2} \ln(e^x + 1) dx & J_{20} &= \int_{\ln 3}^{\ln 4} \frac{1}{\sqrt{e^x}} dx \\[5pt] J_{21} &= \int_0^{\ln 3} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx & J_{22} &= \int_0^2 \frac{e^x + 1}{(e^x + x)^2} dx \\[5pt] J_{23} &= \int_0^1 e^x \sqrt{e^x + 3} dx & J_{24} &= \int_0^1 2^x \times 3^{2x-1} \times 4^{x-2} dx \end{align*}
    Exercice
    Calculer les intégrales suivantes :
    \begin{align*} K_1 &= \int_0^1 \frac{x}{x+1} dx & K_2 &= \int_{-2}^5 (x+4)\sqrt[3]{x+3} dx \\[5pt] K_3 &= \int_2^7 x \sqrt{x+2} dx & K_4 &= \int_2^3 \frac{x^2+x+2}{x^2(x+2)} dx \\[5pt] K_5 &= \int_0^1 \left(\sqrt{2x} - \frac{1}{(2x+1)^2}\right) dx & K_6 &= \int_0^3 \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx \\[5pt] K_7 &= \int_0^1 \frac{1}{e^x+1} dx & K_8 &= \int_1^2 \frac{-3-6x}{\sqrt[4]{x^2+x}} dx \\[5pt] K_9 &= \int_0^1 \frac{x^2}{x+2} dx & K_{10} &= \int_2^3 \frac{x^3}{x-1} dx \end{align*}
    Exercice
    Calculer les intégrales suivantes :
    \begin{align*} I_1 &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin(2x) dx & I_2 &= \int_0^\pi \left(\cos\frac{x}{2} - \sin 3x\right) dx \\[5pt] I_3 &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\left(4x - \frac{\pi}{6}\right) dx & I_4 &= \int_0^\pi \sin^3 x \cos x dx \\[5pt] I_5 &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{2+\sin x} dx & I_6 &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x dx \\[5pt] I_7 &= \int_0^\pi (\cos x + \sin x)^2 dx & I_8 &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3(x) dx \\[5pt] I_9 &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \tan^2 x dx & I_{10} &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\tan^3 x + \tan x) dx \\[5pt] I_{11} &= \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos(2x)}{(2+\sin 2x)^4} dx & I_{12} &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x - \cos x}{\cos x + \sin x} dx \\[5pt] I_{13} &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1+\tan^2 x}{\tan^3 x} dx & I_{14} &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2x)}{\sqrt{3+\sin^2 x}} dx \\[5pt] I_{15} &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin(2x)}{(1+\cos(2x))^2} dx & I_{16} &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan x}{\cos^2 x} dx \\[5pt] I_{17} &= \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x)\sin(3x) dx & I_{18} &= \int_1^{e^2} \frac{\cos(\ln x)}{x} dx \\[5pt] I_{19} &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x(\sin x + \sin^3 x) dx & I_{20} &= \int_{\frac{\pi^2}{16}}^{\frac{\pi^2}{4}} \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx \\[5pt] I_{21} &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{(3\tan x + 2)\cos^2 x} & I_{22} &= \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(2t) dt \end{align*}
    Exercice
    Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (x+1)e^{2x}$
    1. Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R}) f(x) = \frac{1}{2}f'(x) - \frac{1}{2}e^{2x}$.
    2. En déduire le calcul de l'intégrale : $\displaystyle \int_{-1}^0 (x+1)e^{2x} dx$
    Exercice
    1. Vérifier que : $\displaystyle \left(\forall t \in \mathbb{R}^+\right) 1 - t \le \frac{1}{1+t} \le 1$
    2. En déduire que pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ :
      $$ x - \frac{x^2}{2} \le \ln(1+x) \le x $$
    3. Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de l'intégrale : $\displaystyle I = \int_{0}^{1} \ln(1+x^2) dx$.
    Exercice
    Soit $f$ la fonction numérique définie sur $I = [0;9]$ par : $\displaystyle f(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{1+\sqrt{x}}$
    1. Vérifier que : $\displaystyle (\forall x \in I) \frac{1}{4} \le f(x) \le e^3$.
    2. En déduire que : $\displaystyle \frac{9}{4} \le \int_{0}^{9} f(x) dx \le 9e^3$.
    Exercice
    1. Vérifier que pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
      $$ -x^2 + x + 2 = \frac{9}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 $$
    2. Montrer que : $\displaystyle \frac{2}{3} \le \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{-x^2+x+2}} \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.
    Exercice
    Montrer les inégalités suivantes :
    1. $\displaystyle 1 \le \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x^2} dx \le 2$ ; 2) $\displaystyle 2e^{-4} \le \int_{0}^{2} e^{-x^2} dx \le 2$
    2. $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \ln 2 \le \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} dx \le \ln 2$
    3. $\displaystyle 2\ln 3 \le \int_{2}^{4} \ln(x^2-1) dx \le 2\ln 3 + 2\ln 5$
    4. $\displaystyle \frac{9}{4} \le \int_{0}^{9} \frac{1}{1+\sqrt{x}} dx \le 9$
    Exercice
    1. Montrer que : $\displaystyle \left(\forall x \in [1;+\infty[\right) \frac{1}{x^2} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{\sqrt{x}}$.
    2. En déduire un encadrement du nombre $\ln 2$.
    Exercice
    Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$ dans chacun des cas suivants :
    1. $\displaystyle f(x) = \frac{2}{3x+1} \text{et} I = [0;1]$
    2. $\displaystyle f(x) = 3\cos\left(4x+\frac{\pi}{6}\right) \text{et} I = \left[0;\frac{\pi}{2}\right]$
    3. $\displaystyle f(x) = \ln(3x) \text{et} I = [1;e]$
    4. $\displaystyle f(x) = e^x \ln(e^x+1) \text{et} I = [0;\ln 3]$
    5. $\displaystyle f(x) = \sin^2(2x) \text{et} I = \left[0;\frac{\pi}{2}\right]$
    6. $\displaystyle f(x) = \cos^2 x - 3\sin x \text{et} I = \left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$

    CALCUL D'AIRES ET VOLUMES

    Exercice
    Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère orthogonal du plan.

    Dans chacun des cas suivants, exprimer en $cm^2$ la valeur d'une unité d'aire $(u.a)$ :
    1. $\|\vec{i}\| = 2cm \text{ et } \|\vec{j}\| = 3cm$ ; 2) $ \|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1cm$
    2. $\|\vec{i}\| = 2cm \text{ et } \|\vec{j}\| = \frac{1}{2}cm$ ; 4) $ \|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 2cm$
    Exercice
    Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

    Dans chacun des cas suivants, calculer l'aire du domaine plan défini par la courbe $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ :
    1. $\displaystyle f(x) = \frac{2e^x}{e^x+1} \text{et} a = -\ln 2 \text{et} b = 0$
    2. $\displaystyle f(x) = \ln(x+3) \text{et} a = -2 \text{et} b = 1$
    3. $\displaystyle f(x) = (x-1)e^{2x} \text{et} a = 0 \text{et} b = 1$
    4. $\displaystyle f(x) = \sin^2 x + \sin x \text{et} a = 0 \text{et} b = \pi$
    5. $\displaystyle f(x) = x - \sqrt[3]{x} \text{et} a = 0 \text{et} b = 8$
    Exercice
    Soit la fonction numérique $f$ définie sur $[-1;1]$ par :
    $$ f(x) = \sqrt{1-x^2} $$
    On note $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$.
    1. Vérifier que la courbe $(\mathscr{C})$ est un demi-cercle de centre $O$ et de rayon $1$.
    2. En déduire la valeur de l'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$.

    Exercice
    Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par :
    $$ f(x) = (1-x^2)e^{-x} $$
    et soit $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
    Math Diagram
    1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ pour que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $F(x) = (ax^2+bx+c)e^{-x}$ soit une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
    2. En déduire l'aire de la surface bleue.
    Exercice
    Soit $f$ et $g$ les fonctions numériques définies sur $\mathbb{R}^*_+$ par :
    $$ f(x) = \frac{\ln x}{x} \text{et} g(x) = \frac{(\ln x)^2}{x} $$
    On a tracé les courbes des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal d'unité $2\ cm$ sur l'axe des abscisses et $4\ cm$ sur l'axe des ordonnées.
    Math Diagram
    1. Associer à chaque fonction la courbe qui lui correspond. Justifier votre réponse.
    2. Déterminer en $cm^2$ l'aire du domaine vert.
    Exercice
    Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

    Dans chacun des cas suivants, calculer le volume du solide engendré par la rotation de la courbe $\mathscr{C}_f$ de $f$ un tour complet autour de l'axe des abscisses sur $I$ :
    1. $\displaystyle f(x) = |\sin x + \cos x| \text{et} I = \left[0;\pi\right]$.
    2. $\displaystyle f(x) = \sqrt{x+2e^{4x}} \text{et} I = [0;1]$.
    3. $\displaystyle f(x) = \sqrt{x^2 \ln x} \text{et} I = [1;e]$.

    EXERCICES DE PERFECTIONNEMENT

    Exercice
    1. Vérifier que pour tout $t \in \left]1;+\infty\right[$ :
      $$ \frac{1}{t^2(t-1)} = \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} $$
    2. Calculer l'intégrale : $\displaystyle I = \int_{2}^{e} \frac{1}{t^2(t-1)} dt$.
    3. En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : $\displaystyle J = \int_{2}^{e} \frac{\ln(t-1)}{t} dt$.
    Exercice
    Soit $f$ la fonction numérique définie sur $I = \left]1;+\infty\right[$ par : $\displaystyle f(x) = \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$
    1. Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in I$ puis en déduire la valeur de l'intégrale : $\displaystyle I = \int_{\sqrt{2}}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$.
    2. On considère l'intégrale : $\displaystyle J = \int_{\sqrt{2}}^{2} \sqrt{x^2-1} dx$.
      1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale $I+J$ en fonction de $J$.
      2. En déduire la valeur de l'intégrale $J$.
    Exercice
    Pour tout entier $n \ge 2$, on pose : $\displaystyle A_n = \int_{1}^{e} \frac{1+n\ln x}{x^2} dx$.
      1. Montrer que : $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x^2} dx = 1 - \frac{2}{e}$.
      2. En déduire la valeur de $A_2$.
      1. Montrer que la suite $(A_n)_{n \ge 2}$ est arithmétique de raison $\displaystyle r = 1 - \frac{2}{e}$.
      2. En déduire l'expression de $A_n$ en fonction de $n$.
      3. Préciser $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} A_n$.
    Exercice
    1. Vérifier que pour tout $x \in \left]0;+\infty\right[$ :
      $$ \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x-1}} = e^x\sqrt{e^x-1} + \frac{e^x}{\sqrt{e^x-1}} $$
    2. Calculer l'intégrale : $\displaystyle \int_{\ln 2}^{\ln 5} \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x-1}} dx$.
    Exercice
    Soit $f$ la fonction définie sur $\left]0;e\right[ \cup \left]e;+\infty\right[$ par : $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x(1-\ln x)}$

    et soit $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$. (Unité : $2cm$)
    1. Montrer que : $\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{1}{x(1-\ln x)} dx = \ln 2$.
    2. Calculer en $cm^2$, l'aire du domaine plan délimité par $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \sqrt{e}$.
    Exercice
    On considère les intégrales suivantes :
    $$ I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x^2+2}} ; J = \int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}} dx $$
    $$ K = \int_{0}^{1} \sqrt{x^2+2} dx $$
    1. Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $\displaystyle f(x) = \ln\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)$
      1. Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
      2. En déduire la valeur de l'intégrale $I$.
      1. Vérifier que : $J + 2I = K$.
      2. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $K = \sqrt{3} - J$.
      3. En déduire la valeur des intégrales $J$ et $K$.
    Exercice
    Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose : $\displaystyle I_n = \int_{0}^{1} x^n e^{-x^2} dx$.
    1. Calculer l'intégrale $I_1$.
      1. En utilisant une intégration par parties, montrer que :
        $$ (\forall n \in \mathbb{N}^*) I_{n+2} = \frac{n+1}{2}I_n - \frac{e^{-1}}{2} $$
      2. En déduire la valeur de l'intégrale $I_5$.
    Exercice
    Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose : $\displaystyle J_n = \int_{1}^{e} x(\ln x)^n dx$.
      1. Vérifier que la fonction $\displaystyle x \mapsto \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}$ est une primitive de la fonction $x \mapsto x\ln x$ sur $\left]0;+\infty\right[$.
      2. En déduire la valeur de l'intégrale $J_1$.
      1. En utilisant une intégration par parties, montrer que :
        $$ (\forall n \in \mathbb{N}^*) J_{n+1} = \frac{e^2}{2} - \frac{n+1}{2}J_n $$
      2. En déduire la valeur de l'intégrale $J_3$.
      1. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) J_n \ge 0$.
      2. Vérifier que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :
        $$ J_{n+1} - J_n = \int_{1}^{e} x(\ln x)^n (\ln x - 1) dx $$
        et en déduire que la suite numérique $(J_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est décroissante.
    Exercice
    On considère la fonction numérique $F$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par : $\displaystyle F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t} e^{-t} dt$
    1. Vérifier que : $\displaystyle (\forall t \in \mathbb{R}^+) \sqrt{t} \le \frac{1}{4} + t$.
    2. Soit $x \in \mathbb{R}^+$. En utilisant une intégration par parties, montrer que :
      $$ \int_{0}^{x} \left(t+\frac{1}{4}\right) e^{-t} dt = \frac{5}{4} - \left(x+\frac{5}{4}\right) e^{-x} $$
    3. En déduire que : $\displaystyle (\forall x \in \mathbb{R}^+) F(x) \le \frac{5}{4}$.
    Exercice
    On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $\displaystyle I = \left[0;\frac{\pi}{4}\right]$ par : $\displaystyle f(x) = \frac{\sin x}{\cos^3 x}$

    et on considère l'intégrale : $\displaystyle K = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^4 x} dx$.
    1. Montrer que : $\displaystyle (\forall x \in I) f'(x) = \frac{3}{\cos^4 x} - \frac{2}{\cos^2 x}$.
    2. En déduire la valeur de $K$.
    Exercice
    Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = e^{-x} \sin x$
    1. Vérifier que : $(\forall x \in \mathbb{R}) f''(x) + 2f'(x) + 2f(x) = 0$.
    2. En déduire la valeur de l'intégrale : $\displaystyle I = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$.
    Exercice
    On considère la fonction numérique $F$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par : $\displaystyle F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t} e^{-t} dt$
    1. Vérifier que : $\displaystyle (\forall t \in \mathbb{R}^+) \sqrt{t} \le \frac{1}{4} + t$.
    2. En utilisant une intégration par parties, montrer que :
      $$ (\forall x \in \mathbb{R}^+) \int_{0}^{x} \left(t+\frac{1}{4}\right) e^{-t} dt = \frac{5}{4} - \left(x+\frac{5}{4}\right) e^{-x} $$
    3. En déduire que : $\displaystyle (\forall x \in \mathbb{R}^+) F(x) \le \frac{5}{4}$.
    Exercice
    Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ les suites numériques définies par :
    $$ u_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} \sin x dx \text{et} v_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} \cos x dx $$
    1. Calculer $u_0$ et $v_0$.
    2. En utilisant la formule d'intégration par parties, montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
      $$ u_n + nv_n = 1 \text{et} -nu_n + v_n = e^{-\frac{n\pi}{2}} $$
    3. En déduire $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
    4. Déterminer : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n$.
    Exercice
    1. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $\displaystyle I_n = \int_{0}^{1} \ln(1+x^n) dx$.
      1. Montrer que : $\displaystyle I_1 = 2\ln 2 - 1$.
      2. Montrer que : $\displaystyle (\forall n \in \mathbb{N}^*) 0 \le I_n \le \ln 2$.
      3. Montrer que la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est décroissante.
      4. En déduire que la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est convergente.
    2. Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^+$ par : $\displaystyle f(x) = \ln(1+x) - x$
      1. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}^+$ puis déterminer le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}^+$.
      2. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}^+$ :
        $$ \ln(1+x^n) \le x^n $$
      3. Calculer : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} I_n$.
    Exercice
    Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose : $\displaystyle u_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x^n \cos(2x) dx$.
    1. En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les valeurs de $u_1$ et $u_2$.
      1. Montrer que : $\displaystyle (\forall n \in \mathbb{N}^*) 0 \le u_n \le \frac{1}{n+1} \left(\frac{\pi}{4}\right)^{n+1}$.
      2. En déduire que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est convergente et déterminer sa limite.
    Exercice
    Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose : $\displaystyle u_n = \int_{1}^{e} x(\ln x)^n dx$.
      1. Vérifier que : $\displaystyle (\forall n \in \mathbb{N}^*) u_n \ge 0$.
      2. Montrer que la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ est décroissante.
      1. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :
        $$ u_{n+1} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{n+1}{2}u_n $$
      2. En déduire que : $\displaystyle (\forall n \in \mathbb{N}^*) 0 \le u_n \le \frac{e^2}{n+1}$.
      3. Déterminer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$.
    Exercice
    Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par :
    $$ f(x) = (2x^3 - 4x^2)e^{-x} $$
    On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$.

    Première partie :
    1. Déterminer les limites : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$.
    2. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
      $$ f'(x) = -2x(x^2 - 5x + 4)e^{-x} $$
    3. Étudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
    4. Étudier les branches infinies de la courbe $\mathscr{C}_f$.
    5. Construire la courbe $\mathscr{C}_f$.

    Deuxième partie :

    Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose : $\displaystyle I_n = \int_{0}^{1} x^n e^{-x} dx$.
    1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_1$.
      1. Montrer que : $\displaystyle (\forall n \in \mathbb{N}^*) I_{n+1} = (n+1)I_n - \frac{1}{e}$.

        (On pourra utiliser une intégration par parties)
      2. Déterminer $I_2$ et $I_3$.
    3. Calculer, en unités d'aire, l'aire $\mathscr{A}$ du domaine plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}_f$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
    Exercice
    Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $\displaystyle I_n = \int_{0}^{1} \frac{e^{nx}}{1+e^x} dx$.
    1. Calculer $I_1$ et $I_0$.
    2. Montrer que : $\displaystyle (\forall n \in \mathbb{N}^*) I_n + I_{n+1} = \frac{e^n - 1}{n}$.
    3. Montrer que la suite $(I_n)$ est croissante.
      1. Vérifier que pour tout $x \in [0;1]$ :
        $$ \frac{1}{e+1} \le \frac{1}{1+e^x} \le \frac{1}{2} $$
      2. En déduire un encadrement de $I_n$.
      3. Déterminer : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} I_n$.
    Exercice
    On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par : $\displaystyle I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^n x}{\cos x} dx$
      1. Calculer $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^n(x)\cos(x) dx$.
      2. En déduire $I_{n+2} - I_n$ en fonction de $n$.
    2. Calculer $I_1$ et en déduire $I_3$ et $I_5$.
      1. Calculer la dérivée de la fonction :
        $$ f : x \mapsto \ln\left(\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right) $$
      2. En déduire $I_0$, puis $I_2$ et $I_4$.
    Exercice
    On considère un circuit électrique fermé comprenant un condensateur, une bobine et un interrupteur.

    À l'instant $t=0$, on suppose le condensateur chargé, on ferme l'interrupteur ; le condensateur se décharge dans le circuit. La valeur exprimée en coulomb, à l'instant $t$ (en $s$), est donnée par :
    $$ q(t) = 6 \times 10^{-3} \cos(400t) $$
    On sait que la valeur de $i(t)$ de l'intensité du courant, exprimée en ampère, qui parcourt le circuit à l'instant $t$ vérifie : $i(t) = q'(t)$.
    1. Calculer $i(t)$ pour tout $t \in [0;+\infty[$.
    2. Justifier que $i$ est périodique de période $\displaystyle \frac{\pi}{200}$.
    3. On désigne par $I_e$ la valeur, exprimée en ampère, de l'intensité efficace du circuit :
      $$ I_e^2 = \frac{400}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{400}} i^2(t) dt $$
      Calculer $I_e$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
    Exercice
    On pose pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :
    $$ I_n = \int_{0}^{1} \frac{t^n}{1+t^2} dt \text{et} J_n = \int_{0}^{1} t^n \ln(1+t^2) dt $$
    1. Calculer $I_1$.
      1. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\displaystyle 0 \le I_n \le \frac{1}{n+1}$.
      2. En déduire la valeur de $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} I_n$.
    3. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :
      $$ J_n = \frac{\ln 2}{n+1} - \frac{2}{n+1}I_{n+2} $$
    4. En déduire $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} J_n$.
    Exercice
      1. Vérifier que $\displaystyle H : x \mapsto \frac{e^{3x}}{3} - \frac{3}{2}e^{2x} + 3e^x - x$ est une primitive de la fonction $\displaystyle h : x \mapsto (e^x-1)^3$ sur $\mathbb{R}$.
      2. En déduire que : $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} (e^x-1)^3 dx = \frac{5}{6} - \ln 2$.
    2. En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : $\displaystyle I = \int_{0}^{\ln 2} 3xe^x(e^x-1)^2 dx$.
    Exercice
    On considère l'intégrale suivante : $\displaystyle I = \int_{0}^{1} \frac{e^{-x^2}}{1+x} dx$.
    1. Pour tout réel $x \in [0;1]$, on pose :
      $$ u(x) = e^{-x} + x - 1 \text{et} v(x) = 1 - x + \frac{x^2}{2} - e^{-x} $$
      1. Étudier les variations des fonctions $u$ et $v$ sur $[0;1]$.
      2. En déduire que pour tout $x \in [0;1]$ :
        $$ 1 - x \le e^{-x} \le 1 - x + \frac{x^2}{2} $$
        et que : $\displaystyle 1 - x \le \frac{e^{-x^2}}{x+1} \le 1 - x + \frac{x^4}{2(1+x)}$.
      1. Justifier que pour tout $x \in [0;1]$ :
        $$ \frac{x^4}{1+x} = x^3 - x^2 + x - 1 + \frac{1}{x+1} $$
      2. En déduire que : $\displaystyle \frac{1}{2} \le I \le \frac{5}{24} + \frac{\ln 2}{2}$.
    Exercice
    Dans cet exercice, $e$ désigne le réel tel que : $\ln e = 1$

    On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}^*_+$ par : $\displaystyle f(x) = \frac{\ln x + xe}{x^2}$

    On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ avec : $\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 2cm$.

    Première partie :

    On considère la fonction numérique $g$ définie sur $\mathbb{R}^*_+$ par : $\displaystyle g(x) = -2\ln x - xe + 1$
    1. Déterminer : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} g(x)$.
    2. Étudier les variations de la fonction $g$.
    3. Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $\displaystyle \left[\frac{1}{2};1\right]$.
    4. Déterminer le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.

    Deuxième partie :
    1. Déterminer : $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.
      1. Montrer que : $\displaystyle (\forall x \in \mathbb{R}^*_+) f'(x) = \frac{g(x)}{x^3}$.
      2. Montrer que : $\displaystyle f(\alpha) = \frac{1+\alpha e}{2\alpha^2}$.
      3. Étudier les variations de la fonction $f$.
    3. Construire la courbe $\mathscr{C}_f$.

    Troisième partie :

    Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose :
    $$ I_n = \int_{e^n}^{e^{n+1}} \frac{\ln x}{x^2} dx \text{et} A_n = \int_{e^n}^{e^{n+1}} f(x) dx $$
    1. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
      $$ I_n = \frac{n+1}{e^n} - \frac{n+2}{e^{n+1}} $$
      1. Montrer que : $A_n = I_n + e$.
      2. Calculer $I_0$ et $A_0$.
      3. Donner une interprétation géométrique de $A_0$.
    3. Montrer que la suite $(A_n)$ converge vers $e$.
    Exercice
    Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose : $\displaystyle S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$
    1. Montrer que : $\displaystyle (\forall k \in \mathbb{N}^*) \frac{1}{k+1} \le \int_{k}^{k+1} \frac{dt}{t} \le \frac{1}{k}$.
    2. En déduire que : $\displaystyle (\forall n \ge 2) S_n - 1 \le \ln n \le S_n - \frac{1}{n}$.
    3. Déterminer : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} S_n$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln n}{S_n}$.
    Exercice
    Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $\displaystyle u_n = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x^2} dx$
      1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout $x \in \left[0;\frac{1}{2}\right]$ :
        $$ \frac{1}{1-x^2} = \frac{a}{1-x} + \frac{b}{1+x} $$
      2. En déduire la valeur de $u_0$.
      3. Déterminer $u_1$.
      1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :
        $$ u_n - u_{n+2} = \frac{1}{(n+1)2^{n+1}} $$
      2. En déduire $u_2$ et $u_3$.
      1. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
      2. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \ge 0$.
      3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
      1. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
        $$ u_n \le \frac{4}{3(n+1)2^{n+1}} $$
      2. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.


    PROBLÈMES DE SYNTHÈSE

    SE PRÉPARER AUX DEVOIRS

    Devoir
    1. Calculer les intégrales suivantes :
      \begin{align*} I &= \int_{0}^{1} (1-2x)e^{-3x} dx & J &= \int_{1}^{e} (x^2+3)\ln x dx \\[5pt] K &= \int_{1}^{e} \frac{(1+\ln x)^2}{x} dx & L &= \int_{0}^{\ln 2} \frac{e^x+1}{e^x+x} dx \\[5pt] M &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin(2x) - \tan^2 x) dx \\[5pt] N &= \int_{0}^{4} |x^2-2x-3| dx & P &= \int_{0}^{1} (2^x + 3^{2x}) dx \end{align*}
    2. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose : $\displaystyle I_n = \int_{0}^{1} x^n e^{x^2} dx$.
      1. Calculer $I_1$.
      2. Vérifier que : $\displaystyle (\forall n \in \mathbb{N}^*) I_n \ge 0$.
      3. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que : $\displaystyle I_{n+2} = \frac{e}{2} - \frac{n+1}{2}I_n$.
      4. En déduire la valeur de $I_3$.
      5. Montrer que : $\displaystyle (\forall n \in \mathbb{N}^*) I_n \le \frac{e}{n+1}$

        puis en déduire que : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} I_n = 0$.
      1. Vérifier que pour tout $x \in \mathbb{R}-\{-1;1\}$ :
        $$ \frac{2x^3}{x^2-1} = 2x + \frac{2x}{x^2-1} $$
      2. En déduire que : $\displaystyle \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} \frac{2x^3}{x^2-1} dx = 1 + \ln 2$.
      3. En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : $\displaystyle A = \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2x\ln(\sqrt{x^2-1}) dx$.
    4. Calculer la valeur moyenne de la fonction numérique $f : x \mapsto \cos x + e^{2x}$ sur l'intervalle $\displaystyle \left[0;\frac{\pi}{2}\right]$.


    Devoir
    1. Calculer les intégrales suivantes :
      \begin{align*} I_1 &= \int_{0}^{1} (x^2-3)^2 dx & I_2 &= \int_{1}^{9} \left(x - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) dx \\[5pt] I_3 &= \int_{-2}^{0} (x+1)\sqrt{x^2+2x+3} dx & I_4 &= \int_{1}^{8} \frac{x^2+1}{\sqrt[3]{x}} dx \\[5pt] I_5 &= \int_{0}^{\ln\sqrt{3}} e^{2x}\sqrt{1+e^{2x}} dx & I_6 &= \int_{0}^{\ln 2} \frac{e^{3x}}{(1+e^{3x})^2} dx \\[5pt] I_7 &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{\sin x}{\sqrt{3+\cos x}} dx & I_8 &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin(3x)\cos(5x) dx \end{align*}
      1. Montrer que pour tout $\displaystyle x \in \left[-\frac{\pi}{6};0\right]$ :
        $$ \frac{4\cos x\sin^2 x}{1-2\sin x} = -\sin(2x) - \cos x + \frac{\cos x}{1-2\sin x} $$
      2. Calculer l'intégrale : $\displaystyle I = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{0} \frac{4\cos x\sin^2 x}{1-2\sin x} dx$.
    3. En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :
      \begin{align*} J_1 &= \int_{0}^{\pi} x\sin\left(\frac{x}{4}\right) dx & J_2 &= \int_{1}^{e} x(\ln x)^2 dx \\[5pt] J_3 &= \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx & J_4 &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin(2x) dx \\[5pt] J_5 &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x\sin x}{\cos^3 x} dx & J_7 &= \int_{0}^{\pi} e^x\sin x dx \end{align*}
    4. Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\left]1;+\infty\right[$ par :
      $$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x\ln x}} $$
      et soit $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ (unité: $1cm$).

      Calculer le volume $V$ du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe $\mathscr{C}_f$ sur le segment $\left[e;e^2\right]$ un tour complet autour de l'axe des abscisses.

    Examen National 2009 (Session Normale)
    On pose : $\displaystyle I = \int_{-2}^{-1} \frac{x}{x+3} dx$ et $\displaystyle J = \int_{-2}^{-1} \ln(2x+6) dx$
    1. Vérifier que pour tout $x \in \mathbb{R} - \{-3\}$ :
      $$ \frac{x}{x+3} = 1 - \frac{3}{x+3} $$
    2. Montrer que : $I = 1 - 3\ln 2$.
    3. En utilisant une intégration par partie, montrer que : $J = -I$.
    Examen National 2014 (Session Normale)
    Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\left]0;+\infty\right[$ par :
    $$ f(x) = (1+\ln x)^2 + \frac{1}{x^2} $$
    et soit $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ (unité : $1cm$)

    On considère les deux intégrales $I$ et $J$ suivantes :
    $$ I = \int_{1}^{e} (1+\ln x) dx \text{et} J = \int_{1}^{e} (1+\ln x)^2 dx $$
    1. Montrer que la fonction $H : x \mapsto x\ln x$ est une primitive de la fonction $h : x \mapsto 1+\ln x$ sur $\left]0;+\infty\right[$ puis en déduire que : $I = e$.
    2. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $J = 2e - 1$
    3. Calculer en $cm^2$, l'aire du domaine plan délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations cartésiennes : $x = 1$ et $x = e$.
    Examen National 2017 (Session De Rattrapage)
    Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par :
    $$ f(x) = (xe^x-1)e^x $$
    et soit $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ (unité : $2cm$)
    1. Montrer que la fonction $H : x \mapsto (x-1)e^x$ est une primitive de la fonction $h : x \mapsto xe^x$ sur $\mathbb{R}$, puis montrer que : $\displaystyle \int_{-1}^{0} xe^x dx = \frac{2}{e} - 1$.
    2. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que :
      $$ \int_{-1}^{0} (x^2+1)e^x dx = 3\left(1-\frac{2}{e}\right) $$
    3. Calculer en $cm^2$, l'aire du domaine plan délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, la droite $(\mathscr{D}): y = x+1$ et les droites d'équations cartésiennes : $x = -1$ et $x = 0$.
    Examen National 2017 (Session Normale)
    Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\left]0;+\infty\right[$ par :
    $$ f(x) = x + \left(1-\frac{2}{x}\right)\ln x $$
    et soit $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ (unité : $1cm$).
    1. Montrer que : $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{\ln x}{x} dx = \frac{(\ln 2)^2}{2}$.
    2. Montrer que la fonction $H : x \mapsto 2\ln x - x$ est une primitive de la fonction $\displaystyle h : x \mapsto \frac{2}{x} - 1$ sur $\left]0;+\infty\right[$.
    3. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que :
      $$ \int_{1}^{2} \left(\frac{2}{x}-1\right)\ln x dx = (1-\ln 2)^2 $$
    4. Calculer en $cm^2$, l'aire du domaine plan délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, la droite $(\mathscr{D}): y = x$ et les droites d'équations cartésiennes : $x = 1$ et $x = 2$.
    Problème
    Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par :
    $$ f(x) = x + 1 - (x^2+1)e^x $$
    et soit $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ (unité : $2cm$)
    1. Montrer que la fonction $H : x \mapsto (x-1)e^x$ est une primitive de la fonction $x \mapsto xe^x$ sur $\mathbb{R}$, puis montrer que : $\displaystyle \int_{-1}^{0} xe^x dx = \frac{2}{e} - 1$.
    2. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que :
      $$ \int_{-1}^{0} (x^2+1)e^x dx = 3\left(1-\frac{2}{e}\right) $$
    3. Calculer en $cm^2$, l'aire du domaine plan délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, la droite $(\mathscr{D}): y = x+1$ et les droites d'équations cartésiennes : $x = -1$ et $x = 0$.
    Examen National 2017 (Session De Rattrapage)
    Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par :
    $$ f(x) = (x^2-x)e^{-x} + x $$
    et soit $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ (unité : $1cm$)
    1. Montrer que la fonction $H : x \mapsto (x^2+2x+2)e^{-x}$ est une primitive de la fonction $h : x \mapsto -x^2e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$, puis en déduire que : $\displaystyle \int_{0}^{1} x^2e^{-x} dx = \frac{2e-5}{e}$.
    2. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $\displaystyle \int_{0}^{1} xe^{-x} dx = \frac{e-2}{e}$.
    3. Calculer en $cm^2$, l'aire du domaine plan délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, la droite $(\mathscr{D}): y = x$ et les droites d'équations cartésiennes : $x = 0$ et $x = 1$.
    Examen National 2018 (Session Normale)
    Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\left]0;+\infty\right[$ par :
    $$ f(x) = (x^2-1)\ln x $$
    et soit $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ (unité : $3cm$).
    1. Montrer que la fonction $\displaystyle u : x \mapsto \frac{x^3}{3} - x$ est une primitive de la fonction $x \mapsto x^2-1$ sur $\mathbb{R}$.
    2. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que :
      $$ \int_{1}^{2} (x^2-1)\ln x dx = \frac{2}{9}(1+3\ln 2) $$
    3. Calculer en $cm^2$, l'aire du domaine plan délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations cartésiennes : $x = 1$ et $x = 2$.
    Examen National 2012 (Session Normale)
    Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\left]0;+\infty\right[$ par :
    $$ f(x) = x - 1 + \frac{x-1+\ln x}{x^2} $$
    et soit $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ (unité : $1cm$)
    1. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que :
      $$ \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x^2} dx = 1 - \frac{2}{e} $$
    2. Montrer que l'aire du domaine plan délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, la droite $(\mathscr{D}): y = x-1$ et les droites d'équations cartésiennes : $x = 1$ et $x = e$ est :
      $$ \left(1-\frac{1}{e}\right) cm^2 $$
    Examen National 2010 (Session De Rattrapage)
    1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
      $$ \frac{1}{(e^x+1)^2} = 1 - \frac{e^x}{e^x+1} - \frac{e^x}{(e^x+1)^2} $$
    2. Calculer l'intégrale : $\displaystyle I = \int_{0}^{1} \frac{1}{(e^x+1)^2} dx$.
    3. En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : $\displaystyle J = \int_{0}^{1} \frac{xe^x}{(e^x+1)^3} dx$
    Examen National 2004 (Session De Rattrapage)
    1. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} xe^{2x} dx = \frac{1}{4}$.
    2. Calculer en $cm^2$, l'aire du domaine plan délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations cartésiennes : $x = 0$ et $\displaystyle x = \frac{1}{2}$.